ראשי > אופציות, אופציות מעו"ף > עשו זאת בעצמכם: תמחור אופציות למטומטמים באקסל

עשו זאת בעצמכם: תמחור אופציות למטומטמים באקסל

הרבה אנשים שואלים אותי איך בדיוק להשתמש בנוסחת בלאק ושולס. בד"כ אני מפנה אותם לוויקיפידה, אבל שמתי לב שההסברים שם לאיך להשתמש בנוסחה דיי יבשים ולא כל כך מועילים. המטרה ברשומה זאת היא לגרום לנוסחה לעבוד בשבילכם באקסל לכל מטרה שתירצו. להלן חלק קטן ממהסבר שמוצא בוויקיפדיה:

"מודל של התנהגות ניירות ערך פותח כבר בשנת 1900 על ידי המתמטיקאי הצרפתי לואי בשליה (Louis Bachelier) שניסה במאמרו "תאוריית הספקולציה" (Théorie de la spéculation) לנתח התנהגות של מחירי אופציות בבורסת פריז באמצעות תנועה בראונית. העבודה של בשליה לא זכתה להד, אולם הוא היה הראשון שעסק בשטח של מתמטיקה פיננסית.

עם התפתחות המסחר בשוקי ההון בעולם בסוף שנות הששים של המאה העשרים, נוצר מצב בו משקיעים רבים שהשקיעו בנגזרים (נכסים המושפעים ממחירו של נכס בסיסי מסוים כמו מניות וסחורות. המונח כולל בין היתר אופציות, חוזים עתידיים, כתבי אופציות), התלבטו בשאלת התמחור לאותם נכסים פיננסיים.

בתחילת שנות השבעים נפגשו באוניברסיטת שיקגו מיירון שולס ופישר בלק והחלו לעבוד על פיתוח מודל שייתן פתרון לבעיה. הם פרסמו בשנת 1973 את המאמר "תמחור אופציות והתחייבויות תאגידיות" (The Pricing of Options and Corporate Liabilities). רוברט מרטון, עמיתם, פרסם בסמוך מאמר אחר: "התאוריה של תמחור רציונלי של אופציות" ובו התייחס למאמרם של השניים. מרטון הוא שנתן לנוסחה את שמה אף על פי שתרומתו שלו למודל לא הייתה פחותה."

אתם הבנתם את זה? בקיצור, קצת קשה להבין מההסבר איך מתחילים לחשב את נוסחת בלאק ושולס. ברשומה זאת, אני לא מתכוון להסביר לכם איך הגיעו לנוסחת בלאק ושולס (לפחות עוד לא), אלא פשוט איך להשתמש בה כדי להגיע לשווי ההוגן של אופציה על פי הנוסחה. אז מאיפה מתחילים? מהנוסחאות המגעילות:

נוסחה 1:

C(S,T,K) = S\Phi(d_1) - Ke^{-rt}\Phi(d_2)

נוסחה 2:

\displaystyle d_1 = \frac{ln(S/K) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}

נוסחה 3:

d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}

טוב, כפי ששמתם לב (או שלא) אני אדבר על הנוסחה לתמחור אופציית call. לתמחור אופציית put הדרך היא מאוד דומה, רק הנוסחה מסודרת קצת אחרת (ראה וויקיפידה). עכשיו חזרה לנוסחאות. המצב לא נראה יותר טוב אחרי שכתבתי את הנוסחאות, אבל תתאזרו בסבלנות. מה שבעצם חשוב לנו כרגע זה להבין את נוסחה 1. למעשה, נוסחה 1 אומרת לנו כי מחיר אופצית call הינו מושפע מ:

  1.  מחיר נכס הבסיס (S)  
  2. הזמן לפקיעת האופציה (T)
  3. מחיר המימוש (K) – או באנגלית הסטרייק
אז למעשה כדי לחשב את מחיר האופציה, אתם צריכים להכניס לנוסחה את שלושת הפרמטרים הללו. אך לפני זה, יש עוד מספר מכשולים בדרך. או יותר ספיציפית, הביטוי:
\Phi(d_1)
מדובר למעשה בפונקציה (פי ביוונית) שמקבלת את הערך d_1 שנגיע אליו. מה זו הפונקציה זאת? זוהי פונקציה שמחשבת מה ההסתברות להיות מתחת לערך שאתם נותנים לה תחת ההסתברות הנורמלית הסטנדרטית. אגב, הפונקציה ln למי שלא מזהה היא הלוגריתם הטבעי ו-e זה פונקציית האקספוננט.  אם כל זה נראה לכם כמו סינית, אל תדאגו. עם הזמן, זה לא יהווה לכם מכשול. כעת נעבור לשלב הבא, לחשב את d_1 ואת d_2.

ובכן, בעצם נוסחה 3 היא דיי קלה ברגע שנחשב את נוסחה 2. מה אנחנו צריכים בשביל לחשב את d_1?

  1. r – הריבית הקצרה במונחים שנתיים (אפשר לקחת את ריבית המק"מ הקצרה)
  2. סטיית התקן (האות היוונית סיגמא) במונחים שנתיים.
  3. שער המימוש (שער הסטרייק)
  4. הזמן לפקיעת האופציה במונחים שנתיים. כלומר, אם הזמן לפקיעה הוא חודש, אז במונחים שנתיים חודש אחד הוא 1 חלקי 12.

סטיית התקן

למעשה אין פה שום דבר קשה חוץ מחישוב סטיית התקן. כאן אנחנו צריכים להניח הנחות כדוגמת מה תהיה סטיית התקן של נכס הבסיס עד לפקיעה. איך נעשה את זה? דרך אחת תהיה לחשב את התנודתיות שהייתה בעבר לנכס. דרך שנייה תהיה להעריך הערכות סובייקטיביות.

חישוב לדוגמה 

יהיה לכם יותר קל להבין את החישוב עם דוגמה מספרית. נניח אנחנו רוצים לחשב מה המחיר של אופציה עם המאפיינים הבאים:

  • מחיר נכס הבסיס – 100 ש"ח
  • ריבית המק"מ הכי קצרה היא 3% (שימו לב שצריך לכתוב את זה במונחים שנתיים)
  • שער הסטרייק הינו 90
  • הזמן לפקיעה הינו חודש אחד
  • סטיית התקן הינה 12% (שימו לב שגם זה במונחים שנתיים!)

הבא נכניס את כל הנתונים הללו לנוסחה 2:

\displaystyle d_1 = \frac{ln(100/90) + (0.03 + 0.12^2/2)\cdot 1/12}{0.12\sqrt{1/12}} =3.13

ועכשיו נכניס את הערך שקיבלנו לנוסחה 3:

d_2 = d_1 -0.12 \sqrt{1/12} = 3.096

ועכשיו לחלק האחרון. להכניס את הכל לנוסחה 1:

C(S,T,K) = 100\cdot \Phi(3.13) - 90e^{-0.02\cdot 1/12}\Phi(3.096) = 10.22

והנה סיימנו. למי שאין כח לכל החישובים האלה, אני מצרף קובץ אקסל עם כל הנוסחאות לדוגמה. אתם יכולים לשחק עם כל הפרמטרים לבדכם כדי לנסות להבין טוב יותר את הנוסחה. בנוסחת האקסל גם צירפתי את מחיר אופציית ה put.

להורדת קובץ האקסל ליחצו על הלינק הבא: call_price.

מודעות פרסומת
  1. עדיין אין תגובות.
  1. No trackbacks yet.

כתיבת תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת גוגל פלוס

אתה מגיב באמצעות חשבון Google+ שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

מתחבר ל-%s

%d בלוגרים אהבו את זה: